MIT Real Analysis
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MIT 18.100B 的实分析笔记，从实数的完备性与最小上界出发，讲清极限、连续性与级数的严格证明，重点在怎样写出可信的证明，而不是记住结论。
目录
- 01实数的起点：从介值定理到有序域中 / EN从介值定理的直觉出发，追问证明究竟用了实数的哪条性质；建立有理数上的加法、乘法与次序，验证运算良定义，再抽象出域与有序域的公理，并证明两个基本结论。
- 02完备性：最小上界与 √2 的存在中 / EN先证明 √2 不是有理数，再引入上界与最小上界，用「每个有界子集都有最小上界」定义完备有序域；随后在实数中造出 √2，并证明阿基米德性质与有理数的稠密性。
- 03怎样写证明：上确界、√2 与阿基米德性质中 / EN先厘清上界、下界与完备性的定义（包括「边界元不必属于子集」这个坑），再把 √2 存在性重写成一份可直接交作业的正式证明，最后用同样格式证明阿基米德性质并引出数列。
- 04数列与收敛：ε-N 定义、四则运算与子列中 / EN把「越来越接近」写成 ε-N 定义，用 1/n 与 0.999… 两个例子演练；证明收敛必有界，逐条证明极限的四则运算（含乘法的插入中间项技巧与倒数的分母远离零），最后给出子列的定义与「收敛当且仅当所有子列收敛」的定理。
- 05单调收敛定理：有界加单调就够了中 / EN先练习用四则运算求极限，再证明单调有界数列必收敛（极限就是上确界），并说明任意有界数列都能造出一对单调数列；最后用十进制截断序列重新构造 √2，并引出柯西数列与压缩映射定理。
- 06柯西收敛定理：不用猜极限也能证明存在中 / EN先证柯西数列必有界，再借 Bolzano–Weierstrass 定理证明柯西收敛定理；随后用它证明压缩映射定理（不动点存在唯一），并以牛顿法为例；最后给出连续性的 ε-δ 定义与最值定理。
- 07Bolzano–Weierstrass 定理与级数入门中 / EN补上 Cauchy 收敛定理欠下的证明：用二分法构造嵌套区间，从有界列中挤出一个收敛子列。然后把级数定义为部分和序列，算出等比级数的和，证明调和级数发散，并说明绝对收敛强于收敛。
- 08级数判别法：比较、比值、根值与幂级数中 / EN从「通项必须趋于零」这道门槛出发，系统建立比较判别法的两种形式、比值判别法与根值判别法，并把它们用于幂级数：先判断哪些 x 使级数收敛，再以指数级数为例算出比值极限恒为 0。
- 09limsup、收敛半径与连续函数中 / EN先用上极限修补根值判别法，把幂级数的收敛范围压缩成以 0 为中心的一段区间；再用幂级数定义指数函数，把它在有理数上的值与 e^m 对齐；最后给出 ε-δ 连续性的定义、两个基本例子与五条代数规则，证明多项式与有理函数连续。
- 10级数乘积、指数加法公式与处处不连续的函数中 / EN先证明非负项级数的乘积定理，用它把二项式展开拼成 E(x+y)=E(x)E(y)；再回到连续性，构造有理点取 0、无理点取 1 的 Dirichlet 函数并证明它处处不连续，最后补上复合与倒数两条代数规则的完整证明。
- 11极值定理、介值定理与度量空间中 / EN先用序列刻画连续性，再借 Bolzano–Weierstrass 证明极值定理：像集有界，且上确界被取到；随后用上确界构造证明介值定理。最后把距离抽象成度量空间，给出欧氏、出租车、连续函数空间等例子，并说明收敛与 Cauchy 性如何推广。
- 12期中复习：从完备性到幂级数中 / EN把上确界、数列、柯西性、连续性与级数串成一条知识链，归纳每类题的判定工具与常见陷阱，并用两道例题演示考场上的写法。
- 13度量空间：哪些结论能搬离实数轴中 / EN把收敛、柯西性与有界性从实数搬到任意距离空间，证明收敛蕴含柯西、柯西蕴含相对有界，并用球的定义引出开集、闭集以及并、交、补的运算法则。
- 14闭集、开覆盖与紧性中 / EN用余集定义闭集并证明「闭集等价于收敛列极限封闭」，把并交法则对偶到闭集，再定义覆盖与紧性，证明紧集必有界且闭、紧集的闭子集仍紧。
- 15紧性如何恢复 Bolzano–Weierstrass 定理中 / EN先看两个「闭且有界却不紧」的反例——区间 (0,1] 与连续函数空间的单位球——再证明紧集上的嵌套闭集引理，并据此构造嵌套闭球，完成度量空间版 Bolzano–Weierstrass 定理的证明。
- 16导数：从差商到链式法则中 / EN用差商定义导数，证明可导蕴含连续，用三个例子区分连续与可导，并完整证明和法则、Leibniz 法则、商法则与链式法则，最后给出局部极值的必要条件。
- 17Rolle、中值定理与 Taylor 展开：把导数变成估计中 / EN从内点极值的导数为零出发，证明 Rolle 定理，并依次推出中值定理与 Cauchy 中值定理；再用反复应用 Rolle 定理的办法，得到一阶与一般阶的 Taylor 公式及余项。
- 18Taylor 余项与 Riemann 积分：从近似到面积中 / EN先用 Cauchy 中值定理证明洛必达法则，再回看 Taylor 余项：指数函数的近似极好，而 e^{-1/x²} 说明光滑并不保证近似有效。随后用分割、上和、下和与加细引理构造 Riemann 积分，并给出可积的定义。
- 19哪些函数可积：判据、一致连续与连续函数中 / EN先证明下积分永远不超过上积分，再用 Dirichlet 函数说明有界远不足以保证可积；接着给出上下和之差小于 ε 的充要判据，用一致连续与 Bolzano–Weierstrass 定理证明闭区间上的连续函数一致连续，从而可积。
- 20微积分基本定理：把积分变成求原函数中 / EN先证明积分的代数性质与区间可加性，得到绝对值不等式；再给出微积分基本定理的两版：变上限积分求导得到被积函数，以及用原函数计算定积分；最后用极限定义两类反常积分，并用弧长公式收尾。
- 21弧长、逐点收敛与一致收敛中 / EN先用分割与中值定理说明弧长公式的来源，并从单位圆推出 arccos 的积分表示；再区分函数列的逐点收敛与一致收敛，用 x^n 说明两者不同，最后给出 Weierstrass M 判别法及幂级数在内闭区间上的一致收敛。
- 22一致极限：连续性的保持、完备性与积分交换中 / EN证明连续函数的一致极限连续，把一致收敛改写为 sup 度量下的收敛，证明 C([a,b]) 完备，并用上下和证明积分可与一致极限交换。
- 23逐项求导、逐项积分与常微分方程中 / EN在导数一致收敛的假设下证明求导与极限可交换，推出幂级数在收敛半径内可逐项求导任意多次，并引入常微分方程与 Picard–Lindelöf 定理。
- 24Picard–Lindelöf 定理：把微分方程变成不动点中 / EN证明压缩映射定理，构造积分算子并把初值问题化为它的不动点，再用闭球与显式常数证明该算子是压缩映射，从而得到局部存在唯一性。
- 25Picard–Lindelöf 的收尾：连通性、唯一性与爆破中 / EN本讲实际内容是上一讲的延续：算完压缩常数，用区间连通性把局部唯一性提升为整体唯一性，并用 y'=y² 的爆破说明定理为何只能是局部的。