从子空间的两个判据说起

一个集合要成为子空间，只需满足两条：

1. 对加法封闭：$v,w$ 在集合里，则 $v+w$ 也在；
2. 对数乘封闭：$v$ 在集合里，则 $cv$ 也在。

合起来就是：对线性组合封闭。另外，这两条自动保证零向量在集合里（取 $c=0$）。

在 $R^3$ 中，子空间只有四类：整个空间、过原点的平面、过原点的直线、只含零向量。

并集不是子空间，交集是

取一个过原点的平面 $P$ 和一条不在平面内的过原点直线 $L$。

• $P\cup L$ 不是子空间：从平面上取一个向量，从直线上取一个向量，相加后通常既不在平面上也不在直线上。
• $P\cap L$ 是子空间：在这个例子里交集只有零向量，而 $\{\mathbf{0}\}$ 本身是子空间。

一般地，两个子空间的交集一定是子空间。设 $S,T$ 是子空间，$v,w\in S\cap T$：

• $v+w\in S$（因为 $S$ 是子空间），$v+w\in T$（因为 $T$ 是子空间），所以 $v+w\in S\cap T$；
• $cv\in S$ 且 $cv\in T$，所以 $cv\in S\cap T$。

交集是「同时满足两组要求」的集合，要求越多，集合越小，但仍然保持封闭。

时间轴

列空间：由列向量张成

取

$$A= \begin{bmatrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{bmatrix}.$$

这是 $4\times3$ 矩阵，三列都是 $R^4$ 中的向量：

$$\mathbf{c}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix},\quad \mathbf{c}_2=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix},\quad \mathbf{c}_3=\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}.$$

列空间 $C(A)$ 是这三列的所有线性组合：

$$C(A)=\{x_1\mathbf{c}_1+x_2\mathbf{c}_2+x_3\mathbf{c}_3\mid x_1,x_2,x_3\in R\}.$$

它是 $R^4$ 的子空间。为什么不是整个 $R^4$？因为三个向量最多张成三维；事实上这里连三维都不到，注意

$$\mathbf{c}_3=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2,$$

所以第三列没有带来新方向。列空间实际上是 $R^4$ 中的一个二维子空间（一个过原点的平面）。

一句话总结： 列空间就是「所有可能的 $A\mathbf{x}$」构成的集合；它的维度由真正独立的列的个数决定。

与 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的关系

这是本讲最重要的连接：

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\ \text{有解} \iff \mathbf{b}\in C(A).$$

理由很直接：$A\mathbf{x}$ 按定义就是列的组合，系数是 $\mathbf{x}$ 的分量。所以：

• 若 $\mathbf{b}$ 是列的组合，那组系数就是一个解；
• 若 $\mathbf{b}$ 不是列的组合，就不存在解。

对这个 $4\times3$ 矩阵，四个方程只有三个未知数，所以大多数 $\mathbf{b}$ 无解。但有解的 $\mathbf{b}$ 恰好构成列空间这个平面。

具体例子：

• $\mathbf{b}=[1,2,3,4]^T=\mathbf{c}_1$，解是 $(1,0,0)$；
• $\mathbf{b}=[1,1,1,1]^T=\mathbf{c}_2$，解是 $(0,1,0)$；
• 任意 $a\mathbf{c}_1+b\mathbf{c}_2$，解是 $(a,b,0)$。

零空间：被送到零的 $x$

同一个矩阵，换一个完全不同的子空间。零空间 $N(A)$ 是所有满足

$$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$

的 $\mathbf{x}$ 组成的集合。

注意它装的是 $x$，不是 $b$。对这个 $4\times3$ 矩阵，$\mathbf{x}$ 有三个分量，所以 $N(A)$ 是 $R^3$ 的子空间。

求出这个例子的零空间

观察第三列等于前两列之和：

$$\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2-\mathbf{c}_3=\mathbf{0}.$$

所以

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}$$

是一个解。任何倍数也是解：

$$N(A)=\left\{c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\ \middle|\ c\in R\right\}.$$

几何上，这是 $R^3$ 中过原点的一条直线。

为什么零空间一定是子空间

设 $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$，$A\mathbf{w}=\mathbf{0}$。则

$$A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0},$$

所以 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ 也在零空间。对数乘同理：

$$A(c\mathbf{v})=cA\mathbf{v}=c\mathbf{0}=\mathbf{0}.$$

这里用到矩阵乘法的分配律与数乘可交换。零空间因此对线性组合封闭，是子空间。

关键对比：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集不是子空间

把右端换成 $\mathbf{b}=[1,2,3,4]^T$。它有一个解 $(1,0,0)$，还有另一个解 $(0,-1,1)$：

$$0\cdot\mathbf{c}_1+(-1)\mathbf{c}_2+1\cdot\mathbf{c}_3 =-\mathbf{c}_2+\mathbf{c}_3 =\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}.$$

但这个解集不是子空间，因为零向量不是解：$A\mathbf{0}=\mathbf{0}\neq\mathbf{b}$。

它的结构是「一个特解 + 零空间」：

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}.$$

几何上，这是 $R^3$ 中一条不过原点的直线。所有解构成零空间的一条平移，称为仿射集，而不是子空间。

补充： 这也解释了为什么齐次方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 特别重要：只有它的解集包含原点，因而才可能是子空间；非齐次方程的解集是它的一次平移。

描述子空间的两种方式

这一讲给出了构造子空间的两种基本语言：

• 列空间：告诉我几列，我取组合，得到一个子空间。
• 零空间：告诉我方程，我取解，得到一个子空间。

两种方式都会在后续课程中反复出现：列空间对应「像」，零空间对应「核」。

本讲结论

• 子空间对线性组合封闭，必含零向量。
• 两个子空间的交集仍是子空间；并集一般不是。
• 列空间 $C(A)$ 是列的所有组合，位于 $R^m$（$m$ 为行数）。
• $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解当且仅当 $\mathbf{b}\in C(A)$。
• 零空间 $N(A)$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的所有解，位于 $R^n$（$n$ 为列数）。
• 零空间是子空间；非齐次方程的解集不是，它是零空间的一次平移。
• 列数多于独立列数时，列空间维度下降；本例中第三列是前两列之和，列空间是二维的。

理解检验

1. 证明两个子空间的交集是子空间，并给出并集不是子空间的反例。

参考答案：设 $S,T$ 是子空间，$\mathbf{v},\mathbf{w}\in S\cap T$。由 $S$ 是子空间，$\mathbf{v}+\mathbf{w}\in S$；由 $T$ 是子空间，$\mathbf{v}+\mathbf{w}\in T$，所以 $\mathbf{v}+\mathbf{w}\in S\cap T$。数乘同理：$c\mathbf{v}\in S$ 且 $c\mathbf{v}\in T$。封闭性成立，交集是子空间（空集情形另论，通常指非空交集）。 并集的反例：在 $R^3$ 中取平面 $P=\{(x,y,0)\}$ 与直线 $L=\{(0,0,z)\}$。$\mathbf{u}=(1,0,0)\in P$，$\mathbf{w}=(0,0,1)\in L$，但

$$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(1,0,1),$$

它的第三个分量不为 $0$，所以不在 $P$；第一个分量不为 $0$，所以不在 $L$。加法把向量带出了并集，因此 $P\cup L$ 不是子空间。

2. 为什么本例的列空间不是整个 $R^4$？用「三个向量最多张成几维」回答。

参考答案：$A$ 是 $4\times3$，只有三个列向量，三个向量最多张成三维，永远到不了四维的 $R^4$。本例更弱：第三列等于前两列之和，$\mathbf{c}_3=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2$，所以真正独立的方向只有两个，列空间是一个二维子空间（$R^4$ 中过原点的平面）。因此绝大多数 $\mathbf{b}\in R^4$ 落在平面外，对应的方程无解。

3. 写出本例的零空间，并验证 $\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2-\mathbf{c}_3=\mathbf{0}$。

参考答案：验证列的组合：

$$\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1+1-2\\2+1-3\\3+1-4\\4+1-5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

所以 $\mathbf{x}=(1,1,-1)^T$ 满足 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$，任何倍数也满足。零空间是

$$N(A)=\left\{c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\ \middle|\ c\in R\right\},$$

即 $R^3$ 中过原点的一条直线。

4. 为什么 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（$\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$）的解集不是子空间？

参考答案：子空间必须含零向量，而 $A\mathbf{0}=\mathbf{0}\ne\mathbf{b}$，所以零向量不是解，解集不含原点，直接出局。也可以从封闭性看：若 $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ 都是解，则

$$A(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)=\mathbf{b}+\mathbf{b}=2\mathbf{b}\ne\mathbf{b}$$

（因为 $\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$），两个解相加不再是解。所以解集对加法也不封闭。它的真实结构是「特解 + 零空间」，即零空间的一次平移。

5. 已知一个特解与零空间，如何写出全部解？

参考答案：设 $\mathbf{x}_p$ 是一个特解，$N(A)$ 是零空间，则全部解为

$$\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n,\qquad \mathbf{x}_n\in N(A).$$

两个方向都要验证：一方面，$A(\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n)=\mathbf{b}+\mathbf{0}=\mathbf{b}$，所以每个这样的向量都是解；另一方面，若 $\mathbf{x}$ 也是解，则 $A(\mathbf{x}-\mathbf{x}_p)=\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{0}$，即 $\mathbf{x}-\mathbf{x}_p\in N(A)$，所以它一定写成这种形式，没有遗漏。在本例中就是

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}.$$

与前后课的关系

这一讲定义了矩阵的两个核心子空间。下一讲用消元系统地求出零空间：主元列与自由列的分工，会给出零空间的一组「特殊解」，并由此得到维数公式。

Starting from the two subspace tests

A set is a subspace when it satisfies two conditions:

1. closed under addition: if $v,w$ are in the set, so is $v+w$;
2. closed under scalar multiplication: if $v$ is in the set, so is $cv$.

Together: closed under linear combinations. These two conditions also force the zero vector into the set (take $c=0$).

In $R^3$ the subspaces are exactly: the whole space, a plane through the origin, a line through the origin, and the zero vector alone.

Union fails, intersection works

Take a plane $P$ through the origin and a line $L$ through the origin that is not inside $P$.

• $P\cup L$ is not a subspace: take a vector from the plane and one from the line; their sum is usually in neither.
• $P\cap L$ is a subspace: here the intersection is only the zero vector, and $\{\mathbf{0}\}$ is a subspace.

In general, the intersection of two subspaces is a subspace. Let $S,T$ be subspaces and $v,w\in S\cap T$:

• $v+w\in S$ because $S$ is a subspace, and $v+w\in T$ because $T$ is a subspace, so $v+w\in S\cap T$;
• $cv\in S$ and $cv\in T$, so $cv\in S\cap T$.

An intersection imposes both sets of requirements, so it is smaller, but it stays closed.

Timeline

The column space: spanned by the columns

Take

$$A= \begin{bmatrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{bmatrix}.$$

This is $4\times3$; its three columns live in $R^4$:

$$\mathbf{c}_1=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix},\quad \mathbf{c}_2=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix},\quad \mathbf{c}_3=\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix}.$$

The column space $C(A)$ is all linear combinations:

$$C(A)=\{x_1\mathbf{c}_1+x_2\mathbf{c}_2+x_3\mathbf{c}_3\mid x_1,x_2,x_3\in R\}.$$

It is a subspace of $R^4$. Why not all of $R^4$? Three vectors span at most three dimensions. In fact here they span fewer, because

$$\mathbf{c}_3=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2,$$

so the third column adds no new direction. The column space is a two-dimensional subspace of $R^4$ — a plane through the origin.

One-sentence summary: The column space is the set of all possible $A\mathbf{x}$; its dimension is the number of genuinely independent columns.

The connection to $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

This is the lecture's central link:

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\ \text{is solvable} \iff \mathbf{b}\in C(A).$$

The reason is immediate: $A\mathbf{x}$ is by definition a combination of the columns, with the entries of $\mathbf{x}$ as coefficients. So:

• if $\mathbf{b}$ is a combination of the columns, those coefficients give a solution;
• if not, no solution exists.

For this $4\times3$ matrix there are four equations and only three unknowns, so most $\mathbf{b}$ are unsolvable. The solvable ones form exactly the plane that is the column space.

Examples:

• $\mathbf{b}=[1,2,3,4]^T=\mathbf{c}_1$ has solution $(1,0,0)$;
• $\mathbf{b}=[1,1,1,1]^T=\mathbf{c}_2$ has solution $(0,1,0)$;
• any $a\mathbf{c}_1+b\mathbf{c}_2$ has solution $(a,b,0)$.

The nullspace: the $x$ sent to zero

For the same matrix, a completely different subspace. The nullspace $N(A)$ is the set of all $\mathbf{x}$ satisfying

$$A\mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

It contains $x$, not $b$. Since $\mathbf{x}$ has three components, $N(A)$ is a subspace of $R^3$.

Computing it for this example

Observe that the third column is the sum of the first two:

$$\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2-\mathbf{c}_3=\mathbf{0}.$$

Therefore

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}$$

is a solution, and so is every multiple:

$$N(A)=\left\{c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\ \middle|\ c\in R\right\}.$$

Geometrically, this is a line through the origin in $R^3$.

Why the nullspace must be a subspace

Let $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ and $A\mathbf{w}=\mathbf{0}$. Then

$$A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0},$$

so $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ is also in the nullspace. For scalars,

$$A(c\mathbf{v})=cA\mathbf{v}=c\mathbf{0}=\mathbf{0}.$$

The nullspace is closed under linear combinations, hence a subspace.

The key contrast: solutions of $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ are not a subspace

Change the right-hand side to $\mathbf{b}=[1,2,3,4]^T$. One solution is $(1,0,0)$; another is $(0,-1,1)$:

$$0\cdot\mathbf{c}_1+(-1)\mathbf{c}_2+1\cdot\mathbf{c}_3 =-\mathbf{c}_2+\mathbf{c}_3 =\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}.$$

But the solution set is not a subspace, because the zero vector is not a solution: $A\mathbf{0}=\mathbf{0}\neq\mathbf{b}$.

Its structure is "one particular solution plus the nullspace":

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}.$$

Geometrically, this is a line in $R^3$ that does not pass through the origin. The solution set is a translate of the nullspace — an affine set, not a subspace.

Background: This is why the homogeneous equation $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ matters so much. Only its solution set contains the origin, so only it can be a subspace; the nonhomogeneous solution set is a translate of it.

Two ways to describe a subspace

The lecture names the two basic constructions:

• Column space: here are some columns; take their combinations.
• Nullspace: here are the equations; take the solutions.

Both recur throughout the course: the column space is the image, and the nullspace is the kernel.

Takeaways

• A subspace is closed under linear combinations and therefore contains zero.
• The intersection of two subspaces is a subspace; the union generally is not.
• The column space $C(A)$ is all combinations of the columns, living in $R^m$.
• $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ is solvable exactly when $\mathbf{b}\in C(A)$.
• The nullspace $N(A)$ is all solutions of $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, living in $R^n$.
• The nullspace is a subspace; the solution set of a nonhomogeneous system is a translate of it.
• More columns than independent columns lowers the dimension of the column space; here the third column is the sum of the first two, so the column space is two-dimensional.

Check your understanding

1. Prove that the intersection of two subspaces is a subspace, and give an example showing the union need not be.

Reference answer: Let $S,T$ be subspaces and $\mathbf{v},\mathbf{w}\in S\cap T$. Since $S$ is a subspace, $\mathbf{v}+\mathbf{w}\in S$; since $T$ is a subspace, $\mathbf{v}+\mathbf{w}\in T$; hence $\mathbf{v}+\mathbf{w}\in S\cap T$. The same holds for scaling: $c\mathbf{v}\in S$ and $c\mathbf{v}\in T$. So the intersection is closed and is a subspace. For the union, take in $R^3$ the plane $P=\{(x,y,0)\}$ and the line $L=\{(0,0,z)\}$. Then $\mathbf{u}=(1,0,0)\in P$ and $\mathbf{w}=(0,0,1)\in L$, but

$$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(1,0,1),$$

which is in neither $P$ (third coordinate nonzero) nor $L$ (first coordinate nonzero). The sum escapes the union, so $P\cup L$ is not a subspace.

2. Why is this column space not all of $R^4$? Answer in terms of how many dimensions three vectors can span.

Reference answer: $A$ is $4\times3$, so it has only three columns, and three vectors span at most three dimensions — never all of four-dimensional $R^4$. Here it is even smaller: $\mathbf{c}_3=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2$, so only two independent directions remain and the column space is a two-dimensional plane through the origin. Most $\mathbf{b}\in R^4$ lie off that plane, and those systems have no solution.

3. Write the nullspace of this matrix and verify $\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2-\mathbf{c}_3=\mathbf{0}$.

Reference answer: Compute the combination:

$$\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.$$

So $\mathbf{x}=(1,1,-1)^T$ solves $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, and so does every multiple. The nullspace is

$$N(A)=\left\{c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\ \middle|\ c\in R\right\},$$

a line through the origin in $R^3$.

4. Why is the solution set of $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ with $\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ not a subspace?

Reference answer: A subspace must contain the zero vector, but $A\mathbf{0}=\mathbf{0}\ne\mathbf{b}$, so zero is not a solution and the set misses the origin. Closure also fails: if $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ are solutions,

$$A(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2)=\mathbf{b}+\mathbf{b}=2\mathbf{b}\ne\mathbf{b}$$

for $\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$, so the sum is not a solution. The set is a translate of the nullspace, not a subspace.

5. Given one particular solution and the nullspace, how do you write all solutions?

Reference answer: With $\mathbf{x}_p$ a particular solution and $N(A)$ the nullspace,

$$\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n,\qquad \mathbf{x}_n\in N(A).$$

Both directions hold: $A(\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_n)=\mathbf{b}+\mathbf{0}=\mathbf{b}$, so each such vector is a solution; and if $\mathbf{x}$ is any solution, $A(\mathbf{x}-\mathbf{x}_p)=\mathbf{0}$, so $\mathbf{x}-\mathbf{x}_p\in N(A)$. Nothing is missing. In this example,

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}.$$

How it connects

This lecture defines the two central subspaces of a matrix. The next uses elimination to compute the nullspace systematically: pivot columns and free columns produce the "special solutions", and from them comes the dimension formula.