这一讲的两个主题

1. 矩阵乘法到底在做什么。它有五种等价算法，每种都重要。
2. 方阵的逆：什么时候存在，什么时候不存在，以及怎么求。

上一讲已经用过乘法，但只是「会算」。这一讲要把乘法拆开，看清它的结构，因为后面讲列空间、秩、$LU$ 分解时都要用到这些视角。

时间轴

五种看法

设 $A$ 是 $m\times n$，$B$ 是 $n\times p$，$C=AB$ 是 $m\times p$。注意 $A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数。

一、按元素：行点乘列

$C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是

$$C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.$$

也就是「$A$ 的第 $i$ 行」与「$B$ 的第 $j$ 列」做点积。以 $C_{34}$ 为例：

$$C_{34}=A_{31}B_{14}+A_{32}B_{24}+\cdots+A_{3n}B_{n4}.$$

这是教科书的标准算法，计算时最常用。

二、按列：$C$ 的列是 $A$ 的列的线性组合

把 $B$ 看成 $p$ 个列向量并排：

$$B=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_p\end{bmatrix}.$$

那么

$$C=\begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 & \cdots & A\mathbf{b}_p\end{bmatrix}.$$

因为 $A\mathbf{b}_j$ 是 $A$ 的列的线性组合，所以**$C$ 的每一列都是 $A$ 的列的组合**，组合系数来自 $B$ 的对应列。

三、按行：$C$ 的行是 $B$ 的行的线性组合

同样地，把 $A$ 看成 $m$ 个行向量：

$$A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1^T\\ \vdots\\ \mathbf{a}_m^T\end{bmatrix}, \qquad C=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1^T B\\ \vdots\\ \mathbf{a}_m^T B\end{bmatrix}.$$

每个 $\mathbf{a}_i^T B$ 是 $B$ 的行的线性组合，系数来自 $A$ 的第 $i$ 行。

四、列乘行：秩一矩阵之和

这是最容易被忽略、但结构最清楚的一种。若 $A$ 的列是 $\mathbf{a}_k$，$B$ 的行是 $\mathbf{b}_k^T$，则

$$AB=\sum_{k=1}^{n}\mathbf{a}_k\mathbf{b}_k^T.$$

每项 $\mathbf{a}_k\mathbf{b}_k^T$ 是「列乘行」，得到一个完整的 $m\times p$ 矩阵。

例子：

$$\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 12\\ 3 & 18\\ 4 & 24 \end{bmatrix}.$$

这个矩阵的每一列都是 $[2,3,4]^T$ 的倍数，每一行都是 $[1,6]$ 的倍数。它的行空间是一条线，列空间也是一条线——这是「秩一矩阵」的原型。

五、分块乘法

把 $A$ 和 $B$ 都切成四块：

$$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}.$$

则

$$AB= \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{bmatrix}.$$

规则和普通乘法一样，只是把标量换成块。五条路算出来的结果完全一致。

逆矩阵：方阵的核心问题

对 $n\times n$ 的方阵 $A$，最重要的问题是：它可逆吗？

如果存在 $A^{-1}$ 使得

$$A^{-1}A=I,$$

则称 $A$ 可逆（非奇异）。对方阵有一个不平凡的事实：左逆也是右逆，即 $A^{-1}A=I$ 蕴含 $AA^{-1}=I$。对长方形矩阵不成立，因为形状根本不允许。

奇异矩阵：列的组合能产生零

考虑

$$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}.$$

两列 $[1,2]^T$ 与 $[3,6]^T$ 在同一条直线上，第二列是第一列的 3 倍。

理由一（列图像）：$A$ 乘任何矩阵，结果的列都是 $A$ 的列的组合，因此都落在同一条直线上。但单位矩阵 $I$ 的列 $[1,0]^T$、$[0,1]^T$ 不在那条线上。所以 $A$ 不可能乘出 $I$。

理由二（零空间）：存在非零向量

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}, \qquad A\mathbf{x}= \begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3-3\\6-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.$$

如果 $A^{-1}$ 存在，两边左乘 $A^{-1}$：

$$A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0} \;\Longrightarrow\; \mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

但 $\mathbf{x}=[3,-1]^T$ 不是零向量，矛盾。所以 $A^{-1}$ 不存在。

一句话总结： 方阵不可逆，等价于存在非零向量被它压成零；一旦信息被压掉，就没有矩阵能还原。

这个判据会在后面变成「零空间是否只有零向量」以及「行列式是否为零」。

Gauss-Jordan：一次解 $n$ 个方程组

现在假设 $A$ 可逆。求 $A^{-1}$ 的关键观察是：把 $A^{-1}$ 按列看，第 $j$ 列满足

$$A\,(A^{-1}\text{的第 }j\text{列})=\mathbf{e}_j,$$

其中 $\mathbf{e}_j$ 是单位矩阵的第 $j$ 列。所以求逆等价于同时解 $n$ 个右端不同的方程组。

Gauss 只做前向消元，Jordan 多做一步：继续向上消元，直到左边变成单位矩阵。

例子

取

$$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}.$$

构造增广矩阵 $[A\mid I]$：

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 2&7&0&1 \end{array}\right].$$

第一步：第二行减去 2 倍第一行。

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right].$$

这一步把左下角消成 0，得到上三角。Gauss 到这里就停。

第二步：第一行减去 3 倍第二行，把右上角也消成 0。

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&7&-3\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right].$$

左边成了 $I$，右边就是

$$A^{-1}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}.$$

验证

$$A^{-1}A= \begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7-6 & 21-21\\ -2+2 & -6+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

为什么右边会变成逆

把每一步消元写成矩阵 $E_1,E_2,\dots$，合起来记为

$$E=E_k\cdots E_2E_1.$$

对增广矩阵左乘 $E$：

$$E\,[A\mid I]=[EA\mid E].$$

消元完成时 $EA=I$。由逆的定义，$E=A^{-1}$。于是右边

$$E\,I=E=A^{-1}.$$

这就是 Gauss-Jordan 的全部原理：把 $A$ 化成 $I$ 的那串行操作，作用在 $I$ 上就得到 $A^{-1}$。

本讲结论

• $AB$ 有五种算法：元素点积、按列、按行、列乘行求和、分块。结果相同。
• $C$ 的列是 $A$ 的列的组合；$C$ 的行是 $B$ 的行的组合。
• 列乘行得到一个秩一矩阵；$AB$ 是这些秩一矩阵之和。
• 方阵可逆等价于不存在非零 $\mathbf{x}$ 使 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$。
• 奇异矩阵的列共线（更一般地，线性相关），无法组合出单位矩阵的列。
• Gauss-Jordan 对 $[A\mid I]$ 做完整消元，左边化为 $I$ 时右边就是 $A^{-1}$。

理解检验

1. 用元素公式写出 $C_{23}$ 的求和表达式，并说明 $A$、$B$ 的形状限制。

参考答案：

$$C_{23}=\sum_{k=1}^{n}A_{2k}B_{k3}=A_{21}B_{13}+A_{22}B_{23}+\cdots+A_{2n}B_{n3},$$

即 $A$ 的第二行与 $B$ 的第三列做点积。形状限制：若 $A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$，则 $C$ 是 $m\times p$。要能写出 $C_{23}$，必须 $m\ge2$、$p\ge3$；$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数 $n$，这是乘法有定义的唯一条件。

2. 为什么 $C$ 的列一定是 $A$ 的列的组合？用「矩阵乘向量」的定义解释。

参考答案：把 $B$ 按列拆成 $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_p$，则 $C$ 的第 $j$ 列就是 $A\mathbf{b}_j$。而矩阵乘向量的定义正是「以 $\mathbf{b}_j$ 的分量为权重，对 $A$ 的列做线性组合」：

$$A\mathbf{b}_j=\sum_{k=1}^{n}b_{kj}\,\mathbf{a}_k .$$

所以 $C$ 的每一列都落在 $A$ 的列张成的空间里，系数就是 $B$ 第 $j$ 列的那些数。这也解释了为什么 $C$ 的列数等于 $B$ 的列数、而每个列向量都由 $A$ 的列生成。

3. 证明 $[2,3,4]^T[1,6]$ 的行空间是一条线、列空间也是一条线。

参考答案：先算乘积：

$$\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2&12\\3&18\\4&24\end{bmatrix}.$$

列空间：第 1 列是 $[2,3,4]^T$，第 2 列是 $6[2,3,4]^T$，两列都是同一个向量的倍数，所以列空间是 $\operatorname{span}\{[2,3,4]^T\}$，一条过原点的直线。行空间：第一行是 $[2,12]=2[1,6]$，第二行是 $3[1,6]$，第三行是 $4[1,6]$，所以行空间是 $\operatorname{span}\{[1,6]\}$，也是一条线。两者维数都是 1，这正是秩一矩阵的特征：它把整个平面压到一条线上。

4. 用零空间论证说明 $\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}$ 不可逆。

参考答案：取非零向量 $\mathbf{x}=[3,-1]^T$，计算

$$\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3-3\\6-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.$$

若 $A^{-1}$ 存在，两边左乘 $A^{-1}$：

$$A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0}\;\Longrightarrow\;\mathbf{x}=\mathbf{0},$$

与 $\mathbf{x}\ne\mathbf{0}$ 矛盾。所以不存在逆矩阵。直观上，两个不同的输入（$\mathbf 0$ 与 $[3,-1]^T$）被映到同一个输出，信息已经丢失，无法唯一还原。

5. 对 $A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}$ 完整执行 Gauss-Jordan，并验证结果。

参考答案：从增广矩阵出发，

$$\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1-3R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{array}\right].$$

左边已是 $I$，所以 $A^{-1}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}$。验证：

$$A^{-1}A=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7-6&21-21\\-2+2&-6+7\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

原理是：把这串行操作记为 $E$，则 $E[A\mid I]=[EA\mid E]=[I\mid A^{-1}]$，所以右边的变化正是 $A^{-1}$ 本身。

与前后课的关系

这一讲把乘法与逆讲成了结构。下一讲把消元写成 $A=LU$，其中 $L$ 记录乘数、$U$ 是上三角；再往后，可逆性会被翻译成「主元个数」「行列式非零」「零空间只有零向量」等互相等价的条件。

Two topics

1. What matrix multiplication actually does. There are five equivalent algorithms, and all of them matter.
2. Inverses of square matrices: when one exists, when it does not, and how to compute it.

The previous lecture used multiplication mechanically. This one opens it up, because column spaces, rank, and $LU$ factorization all depend on these views.

Timeline

Five ways to multiply

Let $A$ be $m\times n$, $B$ be $n\times p$, and $C=AB$ be $m\times p$. The number of columns of $A$ must equal the number of rows of $B$.

1. By entries: row dot column

The entry in row $i$, column $j$ of $C$ is

$$C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}.$$

That is the dot product of row $i$ of $A$ with column $j$ of $B$. For example,

$$C_{34}=A_{31}B_{14}+A_{32}B_{24}+\cdots+A_{3n}B_{n4}.$$

This is the textbook algorithm and the one used in computation.

2. By columns: each column of $C$ is a combination of columns of $A$

Write $B$ as $p$ columns side by side:

$$B=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_p\end{bmatrix}.$$

Then

$$C=\begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 & \cdots & A\mathbf{b}_p\end{bmatrix}.$$

Since $A\mathbf{b}_j$ is a linear combination of the columns of $A$, every column of $C$ is a combination of the columns of $A$, with coefficients taken from the corresponding column of $B$.

3. By rows: each row of $C$ is a combination of rows of $B$

Similarly, writing $A$ by rows,

$$A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1^T\\ \vdots\\ \mathbf{a}_m^T\end{bmatrix}, \qquad C=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1^T B\\ \vdots\\ \mathbf{a}_m^T B\end{bmatrix}.$$

Each $\mathbf{a}_i^T B$ is a combination of the rows of $B$, with coefficients from row $i$ of $A$.

4. Column times row: a sum of rank-one matrices

This view is the easiest to overlook and the most structural. If $\mathbf{a}_k$ are the columns of $A$ and $\mathbf{b}_k^T$ the rows of $B$, then

$$AB=\sum_{k=1}^{n}\mathbf{a}_k\mathbf{b}_k^T.$$

Each term is a full $m\times p$ matrix. For example,

$$\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 12\\ 3 & 18\\ 4 & 24 \end{bmatrix}.$$

Every column is a multiple of $[2,3,4]^T$; every row is a multiple of $[1,6]$. Its row space is a line and its column space is a line — the prototype of a rank-one matrix.

5. By blocks

Cut both matrices into four blocks:

$$A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}.$$

Then

$$AB= \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{bmatrix}.$$

The rule is the usual one with scalars replaced by blocks. All five routes agree.

Inverses: the central question for square matrices

For an $n\times n$ matrix $A$, the important question is: is it invertible?

If there is a matrix $A^{-1}$ with

$$A^{-1}A=I,$$

then $A$ is invertible, or nonsingular. For square matrices there is a non-obvious fact: a left inverse is also a right inverse, so $A^{-1}A=I$ implies $AA^{-1}=I$. For rectangular matrices this fails, simply because the shapes do not allow it.

Singular matrices: columns that combine to zero

Consider

$$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}.$$

The columns $[1,2]^T$ and $[3,6]^T$ lie on the same line; the second is three times the first.

Reason one (column picture). $A$ times any matrix has columns that are combinations of the columns of $A$, so they all lie on that one line. But the columns of $I$, $[1,0]^T$ and $[0,1]^T$, do not. So $A$ cannot produce $I$.

Reason two (nullspace). There is a nonzero vector

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}, \qquad A\mathbf{x}= \begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3-3\\6-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.$$

If $A^{-1}$ existed, multiply both sides on the left:

$$A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0} \;\Longrightarrow\; \mathbf{x}=\mathbf{0}.$$

But $\mathbf{x}=[3,-1]^T$ is not zero. Contradiction: $A^{-1}$ does not exist.

One-sentence summary: A square matrix is singular exactly when some nonzero vector is crushed to zero; once information is destroyed, no matrix can restore it.

This criterion later becomes "the nullspace contains only the zero vector" and "the determinant is zero".

Gauss-Jordan: solving $n$ systems at once

Assume $A$ is invertible. The key observation is that column $j$ of $A^{-1}$ satisfies

$$A\,(\text{column }j\text{ of }A^{-1})=\mathbf{e}_j,$$

where $\mathbf{e}_j$ is column $j$ of the identity. Finding the inverse is therefore solving $n$ systems with different right-hand sides.

Gauss stops after forward elimination. Jordan continues upward until the left side is the identity.

Example

Take

$$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}.$$

Form the augmented matrix $[A\mid I]$:

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 2&7&0&1 \end{array}\right].$$

Step one: subtract twice row one from row two.

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right].$$

The lower-left entry is gone; this is upper triangular. Gauss would stop here.

Step two: subtract three times row two from row one, clearing the upper-right entry.

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&7&-3\\ 0&1&-2&1 \end{array}\right].$$

The left side is $I$, so the right side is

$$A^{-1}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}.$$

Check

$$A^{-1}A= \begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7-6 & 21-21\\ -2+2 & -6+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

Why the right side becomes the inverse

Write each elimination step as a matrix $E_1,E_2,\dots$, and let

$$E=E_k\cdots E_2E_1.$$

Applying $E$ to the augmented matrix:

$$E\,[A\mid I]=[EA\mid E].$$

When elimination finishes, $EA=I$. By definition of the inverse, $E=A^{-1}$. Therefore the right side is

$$E\,I=E=A^{-1}.$$

That is the whole idea: the row operations that turn $A$ into $I$ turn $I$ into $A^{-1}$.

Takeaways

• $AB$ has five algorithms: entry dot products, by columns, by rows, sum of column-times-row, and blocks. They agree.
• Columns of $C$ are combinations of columns of $A$; rows of $C$ are combinations of rows of $B$.
• A column times a row is a rank-one matrix; $AB$ is a sum of such matrices.
• A square matrix is invertible exactly when no nonzero $\mathbf{x}$ satisfies $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$.
• A singular matrix has linearly dependent columns, which cannot combine to produce the identity's columns.
• Gauss-Jordan reduces $[A\mid I]$; when the left half becomes $I$, the right half is $A^{-1}$.

Check your understanding

1. Write $C_{23}$ with the summation formula and state the shape constraints on $A$ and $B$.

Reference answer:

$$C_{23}=\sum_{k=1}^{n}A_{2k}B_{k3}=A_{21}B_{13}+A_{22}B_{23}+\cdots+A_{2n}B_{n3},$$

the dot product of row two of $A$ with column three of $B$. If $A$ is $m\times n$ and $B$ is $n\times p$, then $C$ is $m\times p$; writing $C_{23}$ requires $m\ge2$ and $p\ge3$. The only compatibility condition is that the number of columns of $A$ equals the number of rows of $B$.

2. Why must every column of $C$ be a combination of columns of $A$? Use the definition of matrix times vector.

Reference answer: Split $B$ into columns $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_p$; then column $j$ of $C$ is $A\mathbf{b}_j$. By definition,

$$A\mathbf{b}_j=\sum_{k=1}^{n}b_{kj}\,\mathbf{a}_k,$$

a linear combination of the columns $\mathbf{a}_k$ of $A$ with weights taken from column $j$ of $B$. Hence every column of $C$ lies in the span of the columns of $A$, and there are as many columns in $C$ as in $B$.

3. Show that $[2,3,4]^T[1,6]$ has a one-dimensional row space and a one-dimensional column space.

Reference answer: The product is

$$\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2&12\\3&18\\4&24\end{bmatrix}.$$

Columns: the second is $6$ times the first, so the column space is $\operatorname{span}\{[2,3,4]^T\}$, a line. Rows: they are $2[1,6]$, $3[1,6]$, $4[1,6]$, so the row space is $\operatorname{span}\{[1,6]\}$, also a line. Both dimensions are 1 — the signature of a rank-one matrix, which collapses the whole plane onto a single line.

4. Use the nullspace argument to show that $\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}$ is singular.

Reference answer: Take $\mathbf{x}=[3,-1]^T\ne\mathbf{0}$. Then

$$\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3-3\\6-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}.$$

If $A^{-1}$ existed, left multiplication would give

$$A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0}\;\Longrightarrow\;\mathbf{x}=\mathbf{0},$$

a contradiction. Two different inputs ($\mathbf 0$ and $[3,-1]^T$) map to the same output, so the information is lost and cannot be recovered.

5. Run Gauss-Jordan on $A=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}$ and verify the result.

Reference answer: Starting from the augmented matrix,

$$\left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2-2R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1-3R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{array}\right].$$

The left block is $I$, so $A^{-1}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}$. Check:

$$A^{-1}A=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7-6&21-21\\-2+2&-6+7\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

The reason it works: with $E$ the product of the row operations, $E[A\mid I]=[EA\mid E]=[I\mid A^{-1}]$, so whatever happens to the right block is exactly $A^{-1}$.

How it connects

This lecture turns multiplication and inversion into structure. The next one writes elimination as $A=LU$, with $L$ storing the multipliers and $U$ upper triangular. Later, invertibility is translated into equivalent conditions: nonzero pivots, a nonzero determinant, and a nullspace containing only zero.